실제 학생 답안을 이렇게 채점합니다

문제 1

3-1

$f(t)=t,\ g(t)=4-2t$ 에서 $\overrightarrow{OP}=(t,\,4-2t)$, $\overrightarrow{OP'}=(1,-2)$ 이다

조건 (i)에서 $a=2$ 이므로 $\overrightarrow{PQ}=-2\overrightarrow{OP}$ 이다

조건 (ii)에서 $\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{OP'}=0$ 이므로 $\overrightarrow{PR}=k(2,1)$ ($k$는 실수) 라하자

$\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PQ}=-2k\times 4>0$ $\ \therefore k<0$ 이고

$|\overrightarrow{PR}|=|\overrightarrow{PQ}|$ 에서 $k=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\times 2\sqrt{t^{2}+(2t-4)^{2}}$ 이다

조건 (iii)에서 $b=5$이므로 $\overrightarrow{PS}=-5\overrightarrow{PR}$ 이다

$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PS}=(t,\,4-2t)\cdot(2,1)\times-5k=-20k$$

$$(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PS})^{2}=400k^{2}=320\,(5t^{2}-16t+16)$$

$$\int_{0}^{2}(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PS})^{2}\,dt=320\int_{0}^{2}(5t^{2}-16t+16)\,dt=320\times\frac{40}{3}=\boxed{\frac{12800}{3}}$$

3-2

$f(t)=2\cos t,\ g(t)=\sin t$ 에서 $\overrightarrow{OP}=(2\cos t,\ \sin t)$, $\overrightarrow{OP'}=(-2\sin t,\ \cos t)$ 이다

조건 (i)에서 $a=5$ 이므로 $\overrightarrow{PQ}=-5\overrightarrow{OP}$ 이다

조건 (ii)에서 $\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{OP'}=0$ 이므로 $\overrightarrow{PR}=k(\cos t,\,2\sin t)$ ($k$는 실수 이다) 이다

$\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{PQ}=-10k>0$ 즉 $k<0$ 이고

$|\overrightarrow{PR}|=|\overrightarrow{PQ}|$ 에서 $\qquad k=-\dfrac{5\sqrt{4\cos^{2}t+\sin^{2}t}}{\sqrt{\cos^{2}t+4\sin^{2}t}}$ 이다

$$\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{PR}=k(0,1)\cdot(\cos t,\,2\sin t)=2k\sin t \quad \text{이고}$$

$$(\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{PR})^{2}=4k^{2}\sin^{2}t=100\times\frac{4\cos^{2}t+\sin^{2}t}{\cos^{2}t+4\sin^{2}t}\times\sin^{2}t \quad \text{이다}$$

$0<t\le\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $0\le \sin^{2}t\le 1$ 이고 $\sin^{2}t+\cos^{2}t=1$ 을 이용하여

$0\le x\le 1$ 에서 정의된 $h(x)=\dfrac{(4-3x)x}{3x+1}$ 의 최대를 구하자

$0\le x\le 1$ 에서 $f(x)>0$ 이므로 $\ln h(x)=\ln(4-3x)+\ln x-\ln(3x+1)$ 이다

$$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{1}{x-\frac{4}{3}}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\left(x-\frac{4}{3}\right)x\left(x+\frac{1}{3}\right)}\left\{\,x\left(x+\frac{1}{3}\right)+\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)-\left(x-\frac{4}{3}\right)x\,\right\}$$

$$=\quad {\prime\prime} \quad \left(x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}\right)\times 3$$

$h'(x)=0$ 의 근은 $x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{3}$ 가 유일하고 $h(x)$는 이때 최댓값 $h(?)\!\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{3}\right)=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{3}$ 을 가짐

따라서 $0<t\le\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $\left(\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{PR}\right)^{2}$ 의 최댓값은 $\dfrac{200}{3}\left(3-\sqrt{5}\right)$ 이다

전사본:

3-3

$P = f(t) = S$, $g(t) = \dfrac{1}{S}$ $(S > a > 2)$ 라 하고

이때 $\overrightarrow{OP} = (S, \dfrac{1}{S})$ 이고 $\overrightarrow{OP'} = k(1, -\dfrac{1}{S^2})$ ($k$는 실수 이다) 이다

$a > 2$ 일때 $\overrightarrow{PQ} = -a\overrightarrow{OP'}$ 이고

$\overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{OP'} = 0$ 에서 $\overrightarrow{PR} = m(1, S^2)$ ($m$은 실수) 이다

$\overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{PQ} = -am \times 2s > 0$ 에서, $m < 0$ 이다

$|\overrightarrow{PR}| = |\overrightarrow{PQ}|$ 에서 $m = -\dfrac{a\sqrt{S^2 + \dfrac{1}{S^2}}}{\sqrt{1+S^4}} = -\dfrac{a}{S}$ 이다

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PR}) = S^2 + \frac{1}{S^2} + -\frac{a}{S}\left(S, \frac{1}{S}\right) \cdot (1, S^2)$$

$$= S^2 + \frac{1}{S^2} - 2a > S^2 - 2a > a^2 - 2a > 0 \quad (S > a > 2)$$

이다 $\therefore$ $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR} > 0$ 이다

문제2

위의 상황에서 전등은 자신의 약수 개수만큼 눌린다

$2023 = 7 \cdot 289 = 7 \cdot 17^2$ 으로 약수의 개수는 $2 \times 3 = 6$ 개이기

따라서 $6$번 눌린다

1-2

전등이 꺼져 있으려면 홀수번 눌러야한다

홀수번 눌리기 위해서는 제곱수여야하고, 세번 눌리기위해서는 소수의 제곱이어야함

1번 전등은 1의 모든 자연수의 약수이므로 2023번 눌린다

$1 < 2^2 < 3^2 < 4^2 \cdots$ $< 44^2 < 2023 < 45^2$ 이다

44 이하의 자연수 중 소수는 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43$ 으로 14개(?)

구하는 조건부 확률은 $\dfrac{14}{44} = \dfrac{7}{22}$ 이다

1-3

주어진 상황은 $1 \sim 2023$ 번까지 각 번 누르고 $1, 2, 3$ 번을 한 번 더 누르는 것과 동일(?)

$1, 2, 3$을 눌렀을때 몇번 더 꺼지게 될지를 기준으로 상황을 분류하자

먼저 2023 이하의 자연수를 $2, 3$ 의 서로소와 제곱수를 기준으로 분류하자

$U = \{n \mid n \in \mathbb{N},\ n \le 2023\}$ $A, B, C$는 $U$의 부분집합이다

$A = \{n \mid n \text{은 2의배수}\}$, $B = \{n \mid n \text{은 3의배수}\}$ $C = \{n \mid n \text{은 제곱수}\}$ 각각의

집합 및 교집합에 원소의개수를 채웠다

[벤 다이어그램] — 전체집합 $U$ 사각형 안에 $A$, $B$, $C$ 세 원

- $A$만: $659$

- $A \cap B$만: $331$

- $B$만: $329$

- $A \cap C$만: $16$

- $A \cap B \cap C$: $6$

- $B \cap C$만: $8$

- $C$ 라벨 옆: $14$

- 원 바깥 (사각형 안): $660$

[오른쪽 계산] *(오른쪽 가장자리가 잘려 있음)*

$n(A) = 1012$, $n(B) = 674$ $n(C) =$ (잘림)

$n(A \cap B) = 337$ $n(A \cap C) = 22$, $n(B \cap C) = 1$(?) (잘림)

$n(A \cap B \cap C) = 6$ 이고

꼴의 나머지를 채우면 다음과 같다

i) 한번더 눌래는 것은 $2$와 서로소 이면서 $3$과 서로소인 자연수들이다.

　이중 제곱수는 $14$개 이고, 아닌것은 $660$개 이므로 한번더눌려 커진것은 $660$개이고

ii) 두번 더 눌린 것은 $2$와 서로소 이면서 $3$의배수 이거나, $3$과 서로소 이면서 $2$의배수 인수 들이다

　이중 제곱수는 $8 + 16 = 24$개 이고 제곱수가 아닌것은 $659 + 329 = 988$개 이다

　두번더 눌린것중 커진것은 $988$(?)개이다. *(덧칠$\cdot{}$겹쳐씀으로 획이 애매함 — $924$로도 읽힘)*

iii) 세번더 눌린 것은 $2$의 배수이면서 $3$의 배수인 자연수이다.

　이중 제곱수는 $6$개이고 아닌것은 $331$개이다.

　세번더 눌린 것중 커진것은 $331$개 이다.

따라서 총 커진것은 $660 + 988 + 331 = 1979$ 개이다.

판독 주의

- 이미지 오른쪽 가장자리가 잘려서 $n(C)$의 값과 $n(B\cap C)$의 값(앞자리 `1`만 보임)은 확인 불가.

- ii)의 마지막 줄 개수는 앞 글자를 덧칠해 고쳐 쓴 흔적이 있어 획이 애매함.

- 이 이미지에는 `[1-1]` 같은 소문항 라벨이 적혀 있지 않음.

문제 3

[6-1]

직선 AP가 원과 만나는 점중 P가 아닌 점을 $P'$, 원점에서 $\overline{PP'}$ 에 내리린 수선의 발을 $T$라 하자

*(그림: 수평 직선 위 점 $A(-2)$, 원점 $O$ 중심의 원, 원 위의 점 $P$, $P'$, 그리고 원 안쪽 $T$가 표시된 그림. 원점을 지나는 세로 축이 그려져 있음)*

$\overline{OP} = \overline{BP'} = 1$ 이고 $\overline{OT} \perp \overline{PP'}$ 이므로 $\left| \overline{AP} - \overline{AP'} \right| = 2\overline{TP}$ 이다.

$A$와 $P$, $P'$은 한 직선 위에 있으므로

$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AP'} = |\overline{AP}| \cdot |\overline{AP'}| = \left( \overline{AT} - \overline{TP} \right)\left( \overline{AT} + \overline{TP} \right) = \overline{AT}^2 - \overline{TP}^2 =$$

$$= \left( \overline{AO}^2 + \overline{OT}^2 \right) - \left( \overline{OP}^2 - \overline{OT}^2 \right) = 3 \text{ 이다.}$$

$\overrightarrow{AP} /\!/ \overrightarrow{AP'}$, $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AP'} = 3$ 이므로

$\overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AP'}$ 이다. $AP$ 가 원 $O$ 와 접할때 $P = P'$ 라 생각하고 이때도 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AP'} = 3$ 으로

모든 $P$에 대해 $\overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AP'}$ 이다.

$P$가 원 즉 전체를 움직이므로 $P'$도 원 즉 전체를 움직인다

$\therefore \ \overrightarrow{AQ} = 3\overrightarrow{AP} = 3(2 + \cos\theta, \sin\theta) \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$ 이다.

$\overrightarrow{OQ} = (4 + 3\cos\theta, \ 3\sin\theta)$ 이고 $Q = (x, y)$ 라 하면

$(x-4)^2 + y^2 = 9$ 이므로 $Q$는 $(4, 0)$ 을 중심으로 하는 반지름 3인 원 위를 움직인다

[6-2]

i) $P$가 도형 $R$ 중 $x^2 + y^2 = 1$ 과 겹치는 부분 위를 움직일때

[6-1] 에서 ^과사라지 $P'$을 설정하면 $P'$은 $C_1$의 도형 $R$ 부분을 제외한 부분을 움직인다

$\overrightarrow{AP'} = (2 + \cos\theta, \sin\theta) \ -\dfrac{2}{3}\pi \le \theta \le \dfrac{2}{3}\pi$ 이다.

$\overrightarrow{OQ} = (4 + 3\cos\theta, \ 3\sin\theta) \ -\dfrac{2}{3}\pi \le \theta \le \dfrac{2}{3}\pi$ 이다. $\cdots$ ①

ii) $P$가 도형 $R$ 중 $(x+1)^2 + y^2 = 1$ 과 겹치는 부분 위에 있을때

*(그림: 두 원이 겹쳐진 도형. 왼쪽에 점 $A$, 오른쪽에 점 $O$, 위쪽 교점 부근 $R_1$, 아래쪽 교점 부근 $R_2$, 세로선 위 점 $P''$, 그 아래 $P$ 표시)*

직선 $AP$와 $y$축이 만나는 점을 $P''$ 이라 하자

$P$는 $\overline{AO}$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\angle APO = \dfrac{\pi}{2}$ 이고

$\angle AOP'' = \dfrac{\pi}{2}$ 이므로

$\triangle AOP''$ 과 $\triangle APO$ 는 닮음이다

$\overline{AP''} : \overline{AO} = \overline{AO} : \overline{AP}$ 이다. $\overline{AP} \times \overline{AP''} = \overline{AO}^2 = 4$

$A, P, P''$는 _같은 직선 위의 세 점이므로 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AP''} = |\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AP''}| = 4$ 이다.

$\overrightarrow{AP} /\!/ \overrightarrow{AP''}$, $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AP''} = 4$ 에서

$\overrightarrow{AQ} = \dfrac{9}{4}\overrightarrow{AP''}$ 이다. $P'' = (0, t) \quad -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \le t \le \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 이다.

$\overrightarrow{OQ} = \left(2, \dfrac{9}{4}t\right) \ \left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \le t \le \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \ \cdots$ ② 이다.

전사본

(윗장 하단에 겹쳐 보이는 표 조각: `Q의 좌표`)

ⅰ), ⅲ) 를 종합하여 ①, ②에 의해 $Q$의 자취를 그리면 다음과 같다

[그림]

- 세로축$\cdot{}$가로축(좌표축)이 그려져 있고, 그 오른쪽에 세로로 긴 타원 모양의 폐곡선이 그려져 있음.

- 곡선 위 왼쪽 위 점에서 중심 쪽으로 선분이 그어져 있고, 그 선분 옆에 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 라고 표기.

- 그 아래(중심 아래쪽 왼편)에도 같은 표기 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

- 중심에서 오른쪽으로 벌어진 각에 $\dfrac{2}{3}\pi$ 표기.

- 왼쪽 위 선분에서 중심으로 향하는 선분 위쪽에 $3$(?) 표기.

- 가로축 위 중심 왼쪽 점 근처에 $\dfrac{3}{2}$(?) 표기, 중심 아래에 $4$(?) 표기.

- 곡선 오른쪽 끝 점 옆에 $3$ 표기.

점 $Q$가 나타내는 곡선는 원주의 일부와 직선으로

$$3 \times \frac{4}{3}\pi \;+\; 3\sqrt{3} \;=\; \boxed{4\pi + 3\sqrt{3}}\quad \text{이다}$$

판독 주의 표시

- 그림 안 가로축 왼쪽 점 옆 표기, 중심 아래 표기, 위쪽 선분 옆 표기는 획이 겹치고 흐려 확정 불가하여 `(?)` 로 남겼습니다.

- 마지막 줄 등호 기호는 획이 겹쳐 `=` 위에 가로획이 하나 더 그어진 형태(`$\neq{}$`처럼 보임)이나, 문맥상 등호로 쓴 것으로 보이며 원본은 겹친 획 그대로입니다.

- "곡선는", "원주의 일부와 직선으로" 등 학생이 쓴 표현$\cdot{}$조사 그대로 옮겼습니다.